Я думаю что проблема с атрибутами файла telegramdesktop.desktop. Этот файл должен быть исполняемым, а у вас скорее всего это не так. Откройте терминал и выполните:
chmod +x .local/share/applications/telegramdesktop.desktop
Что бы заработало, вам может понадобиться выйти и зайти в систему. Если не сработало, отредактируйте файл
.local/share/applications/telegramdesktop.desktop
Перезапишите содержимое файла что бы там было следующее:
[Desktop Entry]
Version=1.0
Name=Telegram Desktop
Comment=Official desktop version of Telegram messaging app
TryExec=telegram-desktop
Exec=telegram-desktop -- %u
Icon=telegram
Terminal=false
StartupWMClass=TelegramDesktop
Type=Application
Categories=Chat;Network;InstantMessaging;Qt;
MimeType=x-scheme-handler/tg;
Keywords=tg;chat;im;messaging;messenger;sms;tdesktop;
X-GNOME-UsesNotifications=true
После этого (на всякий случай) заново выполните
chmod +x .local/share/applications/telegramdesktop.desktop